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梯形ABCD中,DC∥AB,DE⊥AB于点E.
阅读理解:
在图①中,延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P,过点D作DF∥CB交AB于点F,得到图②;四边形BCDF的面积为S,△ADF的面积S1,△PDC的面积S2
解决问题:
(1)在图②中,若DC=2,AB=8,DE=3,则S=
6
6
,S1=
9
9
,S2=
1
1
,则
S2
S1S2
=
4
4

(2)在图②中,若AB=a,DC=b,DE=h,则
S2
S1S2
=
4
4
,并写出理由;
拓展应用:
如图③,现有地块△PAB需进行美化,□DEFC的四个顶点在△PAB的三边上,且种植茉莉;若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2m2、3m2、5m2且种植月季.1m2茉莉的成本是120元,1m2月季的成本是80元.试利用(2)中的结论求□DEFC的面积.并求美化后的总成本是多少?
分析:(1)先判定四边形BCDF是平行四边形,然后利用平行四边形的面积公式即可求出S,根据平行四边形对边相等先求出BF的长度,从而可以求出AF的长度,然后再利用三角形的面积公式即可求出S1,先利用相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高,然后再利用三角形的面积公式求解即可;
(2)把(1)中的数字换成字母,可以先求出S与S1,然后根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高,再利用三角形的面积公式表示出S2,最后代入代数式进行计算即可;
拓展应用:求出S1和S2的值,然后再代入(2)中的结论计算即可.
解答:解:(1)∵DC∥AB,DF∥BC,
∴四边形BCDF是平行四边形,
∴BF=DC=2,
∴S=DC•DE=2×3=6,
S1=
1
2
AF•DE=
1
2
(AB-BF)•DE=
1
2
×(8-2)×3=9,
设△PDC的DC边上的高为x,
∵DC∥AB,
∴△PDC∽△PAB,
x
x+DE
=
DC
AB
=
2
8

解得x=
DE
3
=1,
∴S2=
1
2
×DC×x=
1
2
×2×1=1,
S2
S1S2
=4;
(2)根据(1)得:S=bh,S1=
1
2
(a-b)h,
设△PDC的DC边上的高为x,
∵DC∥AB,
∴△PDC∽△PAB,
x
x+DE
=
DC
AB

x
x+h
=
b
a

解得x=
bh
a-b

∴S2=
1
2
DC•x=
1
2
•b•
bh
a-b
=
b2h
2(a-b)

S2
S1S2
=
(bh)2
1
2
(a-b)h•
b2h
2(a-b)
=4;

拓展应用:

根据题意,S四边形DEFC=S四边形DQBC=S,
∴S△ADQ=S△ADE+S△CFB=3+5=8,
∴S△PDC=S2=2,
S2
S1S2
=4,
∴S2=4×2×8=64,
解得:S=8,
∴总成本W=8×120+(2+3+5)×80=1760元.
故答案为:(1)6,9,1;(2)4.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,以及三角形,平行四边形的面积的求法,获取题目信息并灵活运用信息是解题的关键,本题对学生的能力要求比较高.
练习册系列答案
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题目:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F在线段AE上,BF的延长线交射线CD于点G,若
AF
EF
=3
,求
CD
CG
的值.

(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则易求
AB
EH
的值是
3
3
CG
EH
的值是
2
2
,从而确定
CD
CG
的值是
3
2
3
2

(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若
AF
EF
=m
(m>0),则
CD
CG
的值是
m
2
m
2
.(用含m的代数式表示),写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图3,在梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC延长线上的一点,AE和BD相交于F,若
AB
CD
=a
BC
BE
=b
(a>0,b>0),则
AF
EF
的值是
ab
ab
.(用含a、b的代数式表示)写出解答过程.

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