Question

11．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB=4AD，求sin∠CFE的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；
（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出DC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$x，起床DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．

解答 （1）证明：连接OC，如图1，
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB，
∵OC过O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OC、DC，如图2，
∵AB=4AD，
∴设AD=x，则AB=4x，AC=BC=2x，
∵DF为直径，
∴∠DCF=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO=∠DCF=90°，
∴∠OCF=∠ACD=90°-∠DCO，
∵OF=OC，
∴∠AFC=∠OCF，
∴∠ACD=∠AFC，
∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACF，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DC}{CF}$=$\frac{x}{2x}$=$\frac{1}{2}$，
∴AF=2AC=4x，FC=2DC，
∵AD=x，
∴DF=4x-x=3x，
在Rt△DCF中，（3x）²=DC²+（2DC）²，
解得：DC=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$x，
∵OA=OB，AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC，
∴$\widehat{DC}$=$\widehat{EC}$，
∴∠CFE=∠AFC，
∴sin∠CFE=sin∠AFC=$\frac{DC}{DF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}x}{3x}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．