Question

17．如图1，直线l：y=mx+n交x轴，y轴于点A，B，抛物线与x轴交于点C、D，对称轴经过点A，顶点F的纵坐标为-3．CE⊥x轴交直线l于点E（-5，-$\frac{3}{2}$），tan∠BAD=$\frac{1}{2}$．
（1）求直线l与抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线一动点，当S_△CEP=3时，求点P的坐标；
（3）点M是x轴上一点，点N是在x轴下方抛物线一点，问是否存在这样点M，以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，B坐标，利用三角函数得出m，再利用点E在直线l上，进而确定出m，即可得出直线l的解析式，再用待定系数法确定出抛物线解析式；
（2）先设出点P的坐标，用面积建立方程即可确定出P的坐标；
（3）设出M，先根据点M，N的位置得出AM是平行四边形的对角线，即可得出AM的中点也是BN的中点，确定出点N的坐标，用二次函数关系式建立方程即可确定出点M的坐标．

解答 解：（1）如图1，∵直线l：y=mx+n交x轴，y轴于点A，B，
∴B（0，n），A（-$\frac{n}{m}$，0），
∴OB=n，OA=$\frac{n}{m}$，
∵tan∠BAD=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{n}{m}$=2n，
∴m=$\frac{1}{2}$，
∵点E（-5，-$\frac{3}{2}$），
∴-5m+n=-$\frac{3}{2}$，
∴n=1，
∴直线l的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1；
∴A（-2，0），
∴F（-2，-3），
∵CE⊥x轴，
∴C（-5，0），
∴D（1，0），
设抛物线的表达式为y=a（x+2）²-3，
∵点D在抛物线上，
∴a（1+2）²-3=0，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴抛物线的表达式为y=$\frac{1}{3}$（x+2）²-3，
（2）∵E（-5，-$\frac{3}{2}$），
∴CE=$\frac{3}{2}$，设点P（p，$\frac{1}{3}$（p+2）²-3），
∵S_△CEP=3，
∴$\frac{1}{2}$CE×|p+5|=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×|p+5|=3，
∴p=-1或p=-9，
∴P（-1，-$\frac{8}{3}$）或（-9，$\frac{40}{3}$）；
（3）∵以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且点M在x轴上，点N在x轴下方的抛物线上，
∴AM必是平行四边形的对角线的交点，
∴BN过线段AM的中点G，设点M（a，0），
∴G（$\frac{a-2}{2}$，0），N（a-2，-1），
∵点N在抛物线y=$\frac{1}{3}$（x+2）²-3上，
∴$\frac{1}{3}$（a-2+2）²-3=-1，
∴a=±$\sqrt{6}$，
∴M（-$\sqrt{6}$，0）或（$\sqrt{6}$，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角函数，三角形的面积公式，平行四边形的性质，解本题的关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题．