Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴∠ABP=

1

2

∠ABC，
∠CAP=

1

2

（90°+∠ABC）=45°+

1

2

∠ABC，
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，
=180°-（45°+

1

2

∠ABC+90°-∠ABC）-

1

2

∠ABC，
=180°-45°-

1

2

∠ABC-90°+∠ABC-

1

2

∠ABC，
=45°，故本小题正确；
②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP与△FDP中，

∠AHP=∠FDP ∠APH=∠FPD=90° AP=PF

，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF=AH，
∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP，
∴∠PAE+∠BAP=180°，
又∵∠PFD+∠BFP=180°，
∴∠PAE=∠PFD，
∵∠ABC的角平分线，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP与△FBP中，

∠PAE=∠PFD ∠ABP=∠FBP PB=PB

，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴AB=BF，AP=PF故②小题正确；
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD-AH=AB，故③小题正确；
④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，
∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG，
∵∠PAF=45°，AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG=AG，GH=GF，
∴DG=GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误，
综上所述①②③正确．
故选A．