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    如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．

    （1）求AB的长；
    （2）求CD的所在直线的函数关系式；
    （3）若动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A方向运动，过P作x轴的垂线交x轴于点E，若S△PBE=S△ABO，求此时点P的坐标．
    （4）在（3）中，若动点P到达点A后沿AD方向以原速度继续向点D运动，PE与DC边交于点F，如图（2），是否存在这样的t值，使得S△PBF=S△ABO？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
    【答案】分析：（1）先解一元二次方程x2-7x+12=0求得OA、OB的长，再运用勾股定理即可求得AB的长；
    （2）先由（1）中OA、OB的长得出A、B两点的坐标，再根据平行四边形的性质得到C、D两点的坐标，然后利用待定系数法即可求出CD的所在直线的函数关系式；
    （3）先由PE∥OA，得出△PBE∽△ABO，列出比例式，得到BE、PE的长，再根据S△PBE=S△ABO，列出关于t的方程，解方程即可；
    （4）先由AP=t-5，得出BE=t-2，CE=t-8，PD=11-t，再根据△PDF∽△ECF，得出PF=，然后由S△PBF=S△ABO列出关于t的方程，解方程即可．
    解答：解：（1）∵OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，
    ∴（x-3）（x-4）=0，且OA＞OB，
    ∴OA=4，OB=3，
    由勾股定理，得AB=5；

    （2）∵OA=4，OB=3，
    ∴A点坐标为（0，4），B点的坐标为（-3，0），
    ∵?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，
    ∴D点坐标为（6，4），BC=AD=6，
    ∴OC=BC-OB=3，
    ∴C点坐标为（3，0）．
    设直线CD的解析式为y=kx+b，则
    6k+b=4，3k+b=0，
    k=，b=-4，
    故直线CD的解析式为y=x-4；

    （3）如图1．∵PE∥OA，
    ∴△PBE∽△ABO，
    ∴BE：BO=PE：AO=BP：BA，即BE：3=PE：4=t：5，
    ∴BE=t，PE=t，
    ∵S△PBE=S△ABO，
    ∴×t×t=××3×4，
    解得t=±（负值舍去），
    ∴OE=OB-BE=3-×=3-，PE=×=，
    ∴此时点P的坐标为（-3+，）；

    （4）存在这样的t值，能够使得S△PBF=S△ABO．理由如下：
    如图2．∵BA+AP=t，
    ∴AP=t-5，
    ∴BE=BO+OE=3+t-5=t-2，CE=OE-OC=t-5-3=t-8，PD=AD-AP=6-t+5=11-t．
    ∵PD∥CE，
    ∴△PDF∽△ECF，
    ∴PD：EC=PF：EF，
    ∴PD：（PD+EC）=PF：（PF+EF），
    （11-t）：（11-t+t-8）=PF：4，
    ∴PF=．
    ∵S△PBF=S△ABO，
    ∴PF×BE=××3×4，
    ∴××（t-2）=2，
    整理，得t2-13t+25=0，
    解得t=（负值舍去）．
    故存在t=，使得S△PBF=S△ABO．
    点评：本题是一次函数的综合题，涉及到平行四边形的性质，解一元二次方程，勾股定理，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积，相似三角形的性质与判定及动点问题、存在性问题等知识，本题中用含t的代数式正确表示出三角形的底与高是解题的关键．
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    （1）求图 ②中∠BCB′的大小；
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图1：在正方形ABCD中，AB=2，点P是DC延长线上一点，以P为圆心，PD长为半径的圆的一段弧交AB边于点E，
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    时，△AB′B与△BEF是否相似？若相似，请加以证明；若不相似，简要说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    观察与发现：
    （1）小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．你认为△AEF是什么形状的三角形？为什么？
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    实践与运用：
    如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．
    （2）在图②中连接BB′，判断△BCB′的形状，请说明理由；
    （3）图⑥中的△GCC′是等边三角形吗？请说明理由．
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    科目：初中数学 来源：2011年河北省唐山市玉田县八年级第一学期期中考试数学卷 题型：解答题

     

    1.观察与发现：

    在一次数学课堂上，老师把三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过A点的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．有同学说此时的△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

    2.实践与运用

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