Question

【题目】如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)，抛物线的对称轴为直线x＝1．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，点E在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，直线AE交对称轴于点F，试判断四边形CDEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）四边形EFCD是正方形，见解析

【解析】

(1)抛物线与y轴相交于点C(0，﹣3)，对称轴为直线x=1知c=﹣3，，据此可得答案；

(2)结论四边形EFCD是正方形．如图1中，连接CE与DF交于点K．求出E、F、D、C四点坐标，只要证明DF⊥CE，DF=CE，KC=KE，KF=KD即可证明．

(1)∵抛物线与y轴相交于点C(0，﹣3)，对称轴为直线x=1

∴c=﹣3，，即b=﹣2，

∴二次函数解析式为；

(2)四边形EFCD是正方形．

理由如下：

如图，连接CE与DF交于点K．

∵，

∴顶点D(1，4)，

∵C、E关于对称轴对称，C(0，﹣3)，

∴E(2，﹣3)，

∵A(﹣1，0)，

设直线AE的解析式为，

则，

解得：，

∴直线AE的解析式为y=﹣x﹣1．

∴F(1，﹣2)，

∴CK=EK=1，FK=DK=1，

∴四边形EFCD是平行四边形，

又∵CE⊥DF，CE=DF，

∴四边形EFCD是正方形．