Question

如图，以等腰△ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（I）求证：DE为⊙O的切线；
（II）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（Ⅰ）连接OD、AD，如图，根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质得DB=DC，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，根据平行线的性质得DE⊥OD，则可根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）由∠BAC=60°可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，又可判断△OBD为等边三角形，所以BD=OB=6，则CD=6，然后
在Rt△CDE中根据含30度的直角三角形三边的关系求解．

解答：（Ⅰ）证明：连接OD、AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵△ABC为等腰三角形，
∴DB=DC，
而OA=OB，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD=OB=6，
∴CD=6，
在Rt△CDE中，CE=

1

2

CD=3，
∴DE=

3

CE=3

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．