Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于、两点，点在对称轴左侧，.

I.求此抛物线的解析式；

Ⅱ.已知在轴上存在一点，使得的周长最小，求点的坐标；

Ⅲ.若过点的直线将的面积分成2:3两部分，试求直线的解析式.

Answer 1

【答案】Ⅰ.；Ⅱ.点的坐标为；Ⅲ.直线解析式为.

【解析】

I.由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；

Ⅱ.由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，再求出点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，则点D即为所求，利用待定系数法求出的解析式，即可解决问题．

Ⅲ.利用待定系数法求出直线AB解析式，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式．

解：I.由题意得：，，

解得.

∴此抛物线的解析式为.

Ⅱ.∵抛物线对称轴为直线，，

∴横坐标为，横坐标为1.

把代入抛物线解析式得：，

∴，.

如图，点关于轴的对称点为点，

图

设直线解析式为，

把坐标代入得：，即.

令，解得，即点的坐标为.

Ⅲ.如图，设直线解析式为，

图b

把坐标代入得，即.

设直线与交于点，过作轴，垂足为，设与轴交于点，

可得.

∴.

∵直线将面积分成2：3两部分，

∴.

∴.

∵，

∴或.

当时，把代入直线解析式得，

此时，直线解析式为.

当时，把代入直线解析式得，

此时，直线解析式为.