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如图,以Rt△BCF的斜边BC为直径作⊙O,A为
BF
上一点,且
AB
=
AF
,AD⊥BC,垂足为精英家教网D,过A作AE∥BF交CB的延长线于E.
求证:
(1)AE是⊙O切线;
(2)
BD
CD
=
BE
EC

(3)若⊙O直径为d,则
1
CD
+
1
EC
=
2
d
分析:(1)要证AE是⊙O切线,只要证明AE⊥OA即可;
(2)根据已知利用相似三角形的判定,再根据相似比之间的转化从而得到结论;
(3)根据相似三角形的边对应成比例即可证得结论.
解答:精英家教网证明:(1)连接AB,OA,
∵弧AB=弧AF,OA是⊙O的半径,
∴OA⊥BF.
∵AE∥EF,
∴AE⊥OA.
∵OA是⊙O的半径,
∴AE是⊙O切线.

(2)∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
∵AD⊥BC,
∴△ABD∽△ABC,△ACD∽△ABC.
∴AB2=BD•BC,AC2=CD•BC,
AB2
AC2
=
BD
CD

∵AE是⊙O切线;
∴∠EAB=∠ECA.
∵∠E=∠E,
∴△ABE∽△AEC.
AB
AC
=
AE
EC

AB2
AC2
=
AE2
EC2

∵AE是⊙O切线.
∴AE2=BE•EC③
由①②③得,
BD
CD
=
BE
EC


(3)∵⊙O直径为d
d-CD
CD
=
EC-d
EC

d
CD
+
d
EC
=2

1
CD
+
1
EC
=
2
d
点评:此题考查了圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及比例式的变形等知识.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

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