Question

随着近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资15万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润y₁（万元）与投资量x（万元）成正比例关系：y₁=2x；种植花卉的利润y₂（万元）与投资量x（万元）的函数关系如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点；AB∥x轴）．
（1）写出种植花卉的利润y₂关于投资量x的函数关系式；
（2）求此专业户种植花卉和树木获取的总利润W（万元）关于投入种植花卉的资金t（万元）之间的函数关系式；
（3）此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析：（1）从y₂（万元）与投资量x（万元）的函数关系图可知，当0＜x≤5时y₂与x的关系式图象为二次函数图象的一部分，当x＞5时，y₂=25，故应分两种情况；
（2）根据（1）中所求关系式及y₁=2x及共投资15万元，列出关于w、t的函数关系式；
（3）由（2）中w、t的关系式求出w的最大值即可．

解答：解：（1）由函数图象可知，当x≤5时，y₂与x的关系式图象为抛物线的一部分，
设此抛物线的解析式为：y=a（x-5）²+25，
把（0，0）代入解析式得，0=25a+25，（x≤5）．
解得a=-1．
故函数解析式为y₁=-（x-5）²+25，（x≤5）．
当x＞5时，y₂=25，（x＞5）；

（2）因为投入种植花卉t万元，则投入种植树木（15-t）万元．
当t≤5时，y₁=2（15-t），y₂=-（t-5）²+25，
则W=-（t-5）²+25+2（15-t）=-t²+8t+30；
当5＜t＜15时，y₁=2（15-t），y₂=25，
则W=55-2t．

（3）W=-t²+8t+30，
根据二次函数的性质，当t=-

8

2×(-1)

=4万元时，W取得最大值，
W_最大值=-4²+8×4+30=-16+32+30=46万．

点评：此题考查了二次函数的应用，不仅要求同学们有卓越的观察力，还要熟悉二次函数的性质，尤其是二次函数的最值，有一定难度．