Question

在等腰△ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=6cm，动点P、Q分别从A、B两点同时出发，沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）设四边形APQC的面积为ycm²，写出y关于t的函数关系式及定义域；
（3）分别以P、Q为圆心，PA、BQ长为半径画圆，若⊙P与⊙Q相切，求t的值；
（4）在P、Q运动中，△BPQ与△ABC能否相似？若能，请求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，根据三角函数cos∠B得出等量关系，求出t的值；
（2）等量关系S_{四边形APQC=}S_△ABC-S_△BPQ得出y关于t的函数关系式及定义域；
（3）以P、Q为圆心，PA、BQ长为半径画圆，若⊙P与⊙Q相切，两圆只能外切，根据圆与圆的外切位置关系，求t的值；
（4）△BPQ与△ABC相似，∠B公共，∠A=∠BPQ，或∠A=∠BQP，得出AP的长．

解答：解：（1）过A作AH⊥BC，垂足为H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=

1

2

BC=3．（1分）
又∵PQ⊥AB，
∴cos∠B=

BH

AB

=

BP

BQ

．（1分）
∴

3

5

=

5-t

t

．
∴t=

25

8

．（1分）

（2）过P作PM⊥BC，垂足为M，
∵PM⊥BCAH⊥BC，
∴PM∥AH．
∴

BP

BA

=

PM

AH

．（1分）
∴

5-t

5

=

PM

4

．
∴PM=4-

4

5

t．（1分）
∴S_△PBQ=2t-

2

5

t2．
∴y=S△ABC-S△PBQ=12-2t+

2

5

t2．（1分）
∴定义域：0＜t＜5．（1分）

（3）∵PA=BQ=t，
∴两圆只能外切．（1分）
过Q作QN⊥AB，垂足为N，
∵sin∠B=

AH

AB

=

4

5

，
在Rt△BNQ中，
∴QN=

4

5

t，BN=

3

5

t，PN=5-

8

5

t．
又∵∠PNQ=90°，
∴(2t)2=(5-

8

5

t)2+(

4

5

t)2．（1分）
∴t=-10+

5

2

21

；

（4）能，有二种情况：
①∵△BPQ∽△BAC，
∴

BP

BA

=

BQ

BC

．（1分）
∴

5-t

5

=

t

6

．
∴t=

30

11

．（1分）
②∵△BPQ∽△BCA，
∴

BP

BC

=

BQ

BA

．（1分）
∴

5-t

6

=

t

5

．
∴t=

25

11

．（1分）
∴当t=

30

11

或t=

25

11

秒时，两个三角形相似．
即当AP=

30

11

或AP=

25

11

秒时，两个三角形相似．

点评：本题综合考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，是一个探究性性的题目，一定要分析各种情况，不要落漏．