Question

已知P是⊙O外一点，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是⊙O上异于A、B的一点，过C点作⊙O的切线，分别交直线PA、PB于点D、E，∠APB=50°，则∠DOE的度数为________．

Answer 1

65°或115°
分析：根据题意画出符合条件的两种图形，求出∠AOB的值，求出∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC，代入即可求出答案．
解答：分为两种情况：
①如图1，连接OA、OB、OC，

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO=∠ECO=90°，
∵PA、PB、DE是⊙O的切线，切点是A、B、C，
∴∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，
∵∠AOD=180°-∠OAD-∠ADO，∠COD=180°-∠OCD-∠CDO，
∴∠AOD=∠COD，
同理可证：∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOB=×130°=65°；
②如图2，∠DOE=×（360°-130°）=115°；

故答案为：65°或115°．
点评：本题考查了切线的性质，切线长定理，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，有一定的难度，注意符合条件的有两种情况．