Question

（2005•梅州）如图，已知C、D是双曲线y=在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点．设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），连接OC、OD（O是坐标有点），若∠BOC=∠AOD=α，且tanα=，OC=．
（1）求C、D的坐标和m的值；
（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点C作CG⊥x轴于G，在直角△OCG中，已知tanα=，OC=，就可以求出CG，OQ的长，就得到C点的坐标．根据待定系数法得到反比例函数的解析式．过D作DH⊥x轴于H，则DH=y₂，OH=x₂，在Rt△ODH中，tanα=，∴，即y₂=3x₂，由x₂y₂=3解得DH的长，进而求出OH，得到D点的坐标．
（2）双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点，易证△POC≌△POD，则S_△POC=S_△POD
解答：解：（1）过点C作CG⊥x轴于G，
则CG=y₁，OG=x₁，
在Rt△OCG中，∠GCO=∠BOC=α，
∵tanα=，
∴，
即y₁=3x₁，
又∵OC=，
∴x₁²+y₁²=10，
即x₁²+（3x₁）²=10，
解得：x₁=1或x₁=-1（不合题意舍去）
∴x₁=1，y₁=3，
∴点C的坐标为C（1，3）．
又点C在双曲线上，可得：m=3，
过D作DH⊥x轴于H，则DH=y₂，OH=x₂
在Rt△ODH中，tanα=，
∴，
即x₂=3y₂，
又∵x₂y₂=3，
∴y₂=1或y₂=-1（不合舍去），
∴x₂=3，y₂=1，
∴点D的坐标为D（3，1）；

（2）双曲线上存在点P，使得S_△POC=S_△POD，
这个点就是∠COD的平分线与双曲线的交点
∵点D（3，1），
∴OD=，
∴OD=OC，
∴点P在∠COD的平分线上，
则∠COP=∠POD，又OP=OP
∴△POC≌△POD，
∴S_△POC=S_△POD．
点评：本题主要是根据勾股定理和三角函数的定义解决问题，通过它们把结论转化为方程的问题来解题．