分析 (1)直径所对的圆周角是直角,再用公共角直接得到△CDE∽△CFM;
(2)连结OB,设OM=3k,则MD=2k,OD=5k,根据垂径定理由直径CD⊥AB得到BM=AM=$\frac{1}{2}$AB=4,在Rt△OBM中,OB=5k,OM=3k,根据勾股定理得BM=4k,
则4k=4,解得k=1,于是得到圆O的半径为5;
(3)连结AE,如图,在Rt△ACM中,CM=OC+OM=8,AM=4,由勾股定理计算出AC2=AM2+CM2=80,根据垂径定理由直径CD⊥AB得到弧AC=弧BC,在根据圆周角定理得∠AEC=∠CAF,易证得△CAE∽△CFA,得到相似比,然后根据比例性质得CE•CF=AC2=80.
解答 证明:(1)∵直径CD⊥AB于M,
∴∠CMF=∠CED=90°,
∵∠DCE=∠FCM,
∴△CDE∽△CFM,
(2)连结OB,设OM=3k,则MD=2k,OD=5k
∵直径CD⊥AB,
∴BM=AM=$\frac{1}{2}$AB=4,
在Rt△OBM中,OB=5k,OM=3k,
∴BM=4k,
∴4k=4,
∴k=1,
∴⊙O的半径为5;
(3)连结AE,在Rt△ACM中,CM=OC+OM=5+3=8,AM=4,
∴AC2=AM2+CM2=16+64=80,
∵直径CD⊥AB,
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$,
∴∠AEC=∠CAF,
又∵∠ACF=∠FCA,
∴△CAE∽△CFA,
∴$\frac{AC}{CF}=\frac{CE}{AC}$,
∴CE•CF=AC2=80.
点评 此题是圆的综合题,主要考查了圆中证明三角形相似的方法,相似三角形的性质和判定,勾股定理,解本题的关键是勾股定理的灵活运用.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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