Question

7．如图，等腰梯形ABCD，AB∥CD，AB=3$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{2}$，对角线AC⊥BD，平行于线段BD的直线MN、RQ分别以1个单位/秒、2个单位/秒的速度同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G，当直线RQ到达点C时两直线同时停止运动．记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的面积为S₁，被直线RQ扫过的面积为S₂，若S₂=mS₁，则m的最小值是3．

Answer 1

分析 首先过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，易证得四边形DBKC是平行四边形，可求得AK=4$\sqrt{2}$，由四边形ABCD是等腰梯形，可得AC=CK，又由CE=2$\sqrt{2}$且是高，即可证得∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，继而求得∠AHB的度数，又由等腰直角三角形的性质，求得AC的长，直线移动有两种情况：0＜x＜$\frac{3}{2}$及$\frac{3}{2}$≤x≤2；然后分别从这两种情况分析求解，注意当0＜x＜$\frac{3}{2}$时，易得S₂=4S₁；当$\frac{3}{2}$≤x≤2时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得△BCD与△CRQ的面积，继而可求得S₂与S₁的值，可得m=-36（$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{3}$）²+4，然后利用二次函数的性质求得m的变化范围，得最小值．

解答 解：如图1，过点C作CK∥BD交AB的延长线于K，
∵CD∥AB，
∴四边形DBKC是平行四边形，
∴BK=CD=$\sqrt{2}$，CK=BD，
∴AK=AB+BK=3$\sqrt{2}$$+\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BD=AC，
∴AC=CK，
∴AE=EK=$\frac{1}{2}$AK=2$\sqrt{2}$=CE，
∴CE⊥AB，
∴∠K=∠KCE=∠ACE=∠CAE=45°，
∴∠ACK=90°，
∴∠AHB=∠ACK=90°，
∴AC=AK•cos45°=4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4，
直线移动有两种情况：0＜x＜$\frac{3}{2}$及 $\frac{3}{2}$≤x≤2，如图2，
①当0＜x＜$\frac{3}{2}$时，
∵MN∥RQ，
∴△AMN∽△ARQ，△ANF∽△AQG，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=${（\frac{AG}{AF}）}^{2}$=4，
∴S₁=4S₂；
②当$\frac{3}{2}$≤x≤2时，
∵AB∥CD，
∴△ABH∽△CDH，
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，
∴CH=DH=$\frac{1}{4}$AC=1，AH=BH=4-1=3，
∵CG=4-2x，AC⊥BD，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
∵RQ∥BD，
∴△CRQ∽△CDB，
∴S_△CRQ=2×（$\frac{4-2x}{1}$）²=8（2-x）²，
∵S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）•CE=$\frac{1}{2}$×（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$）×2$\sqrt{2}$=8，S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•CE=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6，
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ADB，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{△ABD}}$=${（\frac{AF}{AH}）}^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{9}$，
∴S₁=$\frac{2}{3}$x²，S₂=8-8（2-x）²，∵S₂=mS₁，
∴m=$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{8-{8（2-x）}^{2}}{{\frac{2}{3}x}^{2}}$=-$\frac{36}{{x}^{2}}$+$\frac{48}{x}$-12=-36（$\frac{1}{x}-\frac{2}{3}$）²+4，
∴m是$\frac{1}{x}$的二次函数，当$\frac{3}{2}$≤x≤2时，即当$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{x}$≤$\frac{2}{3}$时，m随$\frac{1}{x}$的增大而增大，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，m最大，最大值为4，
当x=2时，m最小，最小值为3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及二次函数的最值问题，注意数形结合、分类讨论思想与函数思想的应用，注意辅助线的作法是解答此题的关键．