已知线段AC=8.BD=6．(1)已知线段AC垂直于线段BD．设图1.图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1.S2和S3.则S1= .S2= .S3= ,(2)如图4.对于线段AC与线段BD垂直相交(垂足O不与点A.C.B.D重合)的任意情形.请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想.并证明你的猜想,的延长线垂直相交时.猜想顺次连接点A.B.C.D.A所围成的封闭图形的面积是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S₁、S₂和S₃，则S₁=

，S₂=

，S₃=

；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？

分析：（1）根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明．

解答：解：（1）S₁=24，S₂=24，S₃=24；

（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S_△BAC=

AC•OB，S_△DAC=

AC•OD，
∴S_{四边形ABCD}=

AC•OB+

AC•OD=

AC•（OB+OD）=

AC•BD=24．

（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S_△ABD=

AO•BD，S_△BCD=

CO•BD，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=

AO•BD+

CO•BD=

BD（AO+CO）=

BD•AC=24．

点评：此题注意发现：对角线互相垂直的四边形的面积总等于对角线乘积的一半．

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真

命题，命题2是

假

命题（填入“真”或“假”）．

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（2）分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，
若添加条件②、③，以①为结论构成另一个命题，则该命题是

假

命题
（选择“真”或“假”填入空格，不必证明）．

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B．一定是1

C．一定是5或1

D．以上都不对

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已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图（1）、图（2）和图（3）中的四边形ABCD的面积分别为S₁，S₂和S₃，则S₁=