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如图①,△ABC的面积为a,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连结DA,若△ACD的面积为S1,则S1=a,探索:
(1)如图②,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连结DE.若△DEC的面积为S2,则S2=
 
(用含a的代数式表示)
(2)在图②的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连结FD、FE,得到△DEF(如图③),若阴影部分的面积为S3,则S3=
 
(用含a的代数式表示).
发现:像上面那样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连结所得端点,得到△DEF(如图③),此时,我们称△ABC向外扩展了一次,可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的
 
倍.
应用:去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉,今年准备扩大种植规模,把△ABC内外进行扩展,第一次由△ABC扩展成△DEF,第二次由△DEF扩展成△MGH(如图④);求这两次扩展的区域 (即阴影部分)面积共为多少平方米?
考点:三角形的面积
专题:
分析:(1)运用分割法:连接AD.根据三角形的面积公式进行分析:等底同高的两个三角形的面积相等;
(2)在(1)的基础上,阴影部分的面积是(1)中求得的面积的3倍;再加上原来三角形的面积进行计算.
应用:根据上述结论,即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍,则扩展两次后,得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍.从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍.
解答:解:(1)2a;
理由:连接AD,

∵CD=BC,AE=CA,
∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a,
∴S2=2a,
故答案为:2a;
(2)6a;
结合(1)得:2a×3=6a,
故答案为:6a;
发现:扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a,即是原来三角形的面积的7倍,
故答案为:7;
应用:
由图③可知:S△DEF=7S△ABC,S△MGH=7S△DEF
∴S△MGH=49S△ABC
又S=S△MGH-S△ABC=48S△ABC=480m2
所以这两次扩展的区域 (即阴影部分)面积共为480平方米.
点评:此题考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力.本题的探索过程由简到难,运用类比方法可依次求出.从而使考生在身临数学的情境中潜移默化,逐渐感悟到数学思维的力量,使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致,是一道新课标理念不可多得的好题.
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A、
1
6
B、
1
3
C、
1
2
D、
2
3

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1
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5

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