Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，且顶点C在⊙O上，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AC＝8，BC＝6，求BD和CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），.

【解析】

（1）连接OC，证∠OCE＝90°即可；

（2）根据勾股定理可得AB=10，再由tanA＝可得BD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即得CE的长.

（1）证明：连接OC，如图所示：

∵BD是⊙O的切线，

∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，

∵E是BD中点，

∴CE＝BD＝BE，

∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A，

∴∠ACO＝∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO＝90°，

即∠OCE＝90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ACB＝90°，

∴AB＝，

∵tanA＝，

∴BD＝AB＝，

∴CE＝BD＝．