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探索研究
已知如图,过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M(2m,0)、交y轴的负半轴于点D,弧OBM与⊙P的弧OAM关于x轴对称,其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点.点A到x轴的距离为h,以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E.
(1)填空:B的坐标为
(m,-h)
(m,-h)
,C的坐标为
(m,h-10)
(m,h-10)
,D的坐标为
(0,2h-10)
(0,2h-10)
;(可含m、h)
(2)当m=4时,
①求此抛物线的函数关系式并写出点E的坐标;
②点Q在y轴上,且S△CEQ=S△CEP,求Q点坐标.
(3)是否存在实数m,使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)可连接OP,PM,设AC与OM交于N,那么在直角三角形OPN中,ON=m,因此AN=BN=h,CN=AC-AN=10-h,所以B,C的坐标分别为(m,-h),(m,h-10),
同理过P作OD的垂线,根据垂径定理即可得出OD=2PN=5-h,因此D点的坐标为(0,2h-10);
(2)①可用顶点式二次函数通式来设抛物线的解析式,然后将D点的坐标代入即可求出抛物线的解析式.根据圆和抛物线的对称性可知:E点和D点关于抛物线的对称轴x=4对称,因此根据D的坐标即可求出E点的坐标.
②由①可知点E的坐标为(8,-6),所以可求出过CE的直线解析式,进而求出直线和x轴的交点坐标R,当S△CEQ=S△CEP则QR=PC,则可求出Q点坐标;
(3)如果以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,那么这个四边形的对角线互相垂直平分,如果设BC,DE的交点为F,那么BF=CF,可用A点的纵坐标即AN的长表示出BF和CF由此可求出A点的纵坐标,进而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值.
解答:解:(1)连接OP,PM,设AC与OM交于N,
∵⊙P的半径为5,
∴AC=10,
∵点M(2m,0),
∴ON=MN=m,
∵点A到x轴的距离为h,
∴CN=AC-AN=10-h,
∴B(m,-h),C(m,h-10),
同理过P作OD的垂线,根据垂径定理即可得出OD=2PN=5-h,因此D点的坐标为(0,2h-10)
∴D(0,2h-10),
故答案为:(m,-h),(m,h-10),(0,2h-10);
(2)①设抛物线的解析式为y=a(x-4)2-2,已知抛物线过D点,
因此-6=a(x-4)2-2,
解得a=-
1
4

∴抛物线的函数关系式为:y=-
1
4
(x-4)2-2

根据对称可知:E(8,-6);
②当m=4时,则C(4,-8),由①可知E的坐标为(8,-6),
设直线CE的解析式为y=kx+b,
-8=4k+b
-6=8k+b

解得:
k=
1
2
b=-10

∴直线CE:y=
1
2
x-10

∴直线CE与y轴交于点R(0,-10),
当S△CEQ=S△CEP时,则QR=PC,
∴Q(0,-5)或Q(0,-15);
(3)假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形,则DE与BC互相垂直平分,设DE与BC相交于点F,于是BF=CF.
∴-h-2h+10=2h-10-h+10,即h=
5
2

∴AB=5                     
∴B、P两点重合,
m=
52-(
5
2
)2
=
5
2
3
.:
点评:本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、垂径定理、勾股定理、菱形的性质等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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(1)P点的坐标为多少;(用含x的代数式表示)
(2)试求△MPA面积的最大值,并求此时x的值;
(3)请你探索:当x为何值时,△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?写出你的研究成果.

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