Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等分点，点D是中点，AB上一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

分析：找点C或点D关于AB的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AB的交点P就是所求作的位置．根据题意先判断△COE是等腰直角三角形，再求出PC+PD的最小值．

解答：解：作点D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P，
则AB为DE的垂直平分线，
此时PC+PD=CP+PE=CE最小，
根据垂径定理得

BD

=

BE

．
又点C是半圆的三等分点，∴∠COB=60°，
∴∠COD=30°，
根据题意得∠COE=3∠COD=90°，即△COE是等腰直角三角形．
又OC=OE=2，
在Rt△COE中，根据勾股定理得CE=2

2

．
即PC+PD的最小值是2

2

．
故答案为：2

2

点评：此题的难点是确定点P的位置：找点C或点D关于AB的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AB的交点P就是所求作的位置．再根据弧的度数和圆心角的度数相等发现一个等腰直角三角形．