Question

12．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}$BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S_?ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=$\frac{1}{4}$BC，成立的个数有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=$\frac{1}{2}$BC，得到AE=$\frac{1}{2}$BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S_?ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=$\frac{1}{2}$AB，于是得到OE=$\frac{1}{4}$BC，故④正确．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S_?ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∴OE=$\frac{1}{4}$BC，故④正确．
故选：C．

点评 本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．