Question

如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCD的周长等于25cm．
（1）求BC的长；
（2）若∠A=36°，并且AB=AC，求证：BC=BD．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，可得AD=BD，又由△BCD的周长等于25cm，可得AC+BC=25cm，继而求得答案；
（2）由∠A=36°，并且AB=AC，易求得∠BDC=∠C=72°，即可证得BC=BD．

解答：（1）解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=15cm，△BCD的周长等于25cm，
∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25cm，
∴BC=10cm．

（2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=

180°-∠A

2

=72°，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠C=∠BDC，
∴BC=BD．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．