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在平面直角坐标系中,菱形OABC的OC边落在x轴上,∠AOC=60°,OA=.若菱形OABC内部(边界及顶点除外)的一格点P(x,y)满足:x2-y2=90x-90y,就称格点P为“好点”,则菱形OABC内部“好点”的个数为( )
(注:所谓“格点”,是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.)

A.145
B.146
C.147
D.148
【答案】分析:过A作AQ⊥OC于Q,过B作BH⊥X轴于H,求出OQ、AQ,根据x2-y2=90x-90y,求出x=y,x+y=90,求出BH=90  OA:y′=x(1)y=x时,有90-1=89个点符合(2)y=-x+90时,令y=y'则x=45(-1),y=-x+90时有90-32-1=57个点符合,有57+89-1=145个点符合,即可得到答案.
解答:解:过A作AQ⊥OC于Q,过B作BH⊥X轴于H,
∵∠A0C=60°,OA=60
∴∠OAQ=30°,
∴OQ=30
由勾股定理得:AQ=90,
∵x2-y2=90x-90y,
∴(x-y)(x+y-90)=0,
∴x=y,x+y=90,
BH=90  OA:y′=x
(1)y=x时,令y=90 则x=90,
作直线y=x的图象,交AB于D,
∵AQ=90,
∴D(90,90),
∵边界及顶点除外
∴y=x时有90-1=89个点符合(D点除外),
(2)y=-x+90时,
∵直线OA的解析式为y′=x,
∴令y=y'则x=45(-1)
≈1.732
∴x≈32.9(取x=33),
则直线OA于直线y=-x+90的交点是(45-45,135-45),
再令y=0 则x=90,
∵边界及顶点除外,
∴y=-x+90时有90-32-1=57个点符合,
∴有57+89-1=145个点符合,
故选A.
点评:本题主要考查对菱形的性质,勾股定理,含30度得直角三角形的性质,坐标与图形性质等知识点的理解和掌握,能根据已知条件找出规律是解此题的关键.
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(1)在图中画出所有符合要求的△A1B1C1
(2)若△OMN的顶点坐标分别为O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN经过【θ,k】变换后得到△O′M′N′,若点M的对应点M′的坐标为(-1,-2),则θ=
0°(或360°的整数倍)
,k=
2

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