Question

【题目】如图三角形ABC是圆O的内接正三角形，弦EF经过BC边的中点D，且EF平行AB，若AB等于6，则EF等于________.

Answer 1

【答案】

【解析】

设AC与EF交于点G，由于EF∥AB，且D是BC中点，易得DG是△ABC的中位线，即DG=3；易知△CDG是等腰三角形，可过C作AB的垂线，交EF于M，交AB于N；然后证DE=FG，根据相交弦定理得BDDC=DEDF，而BD、DC的长易知，DF=3+DE，由此可得到关于DE的方程，即可求得DE的长，EF=DF+DE=3+2DE，即可求得EF的长；

解：如图，过C作CN⊥AB于N，交EF于M，则CM⊥EF，

根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点O，

∵EF∥AB，D是BC的中点，

∴DG是△ABC的中位线，

即DG=AB=3；

∵∠ACB=60°，BD=DC=BC，AG=GC=AC，且BC=AC，

∴△CGD是等边三角形，

∵CM⊥DG，

∴DM=MG；

∵OM⊥EF，

由垂径定理得：EM=MF，

故DE=GF，

∵弦BC、EF相交于点D，

∴BD×DC=DE×DF，

即DE×(DE+3)=3×3；

解得DE=或（舍去）；

∴EF=3+2×=；