Question

如图所示，已知抛物y=ax²+bx+c与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=

3

，CB=2

3

，∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它的顶点坐标．

Answer 1

分析：先根据勾股定理得到OC=3，则B点坐标为（-

3

，0），C点坐标为（0，3），利用含30°的直角三角形三边的关系得到OA=

3

OC=3

3

，则A点坐标为（-3

3

，0），然后设抛物线的交点式为y=a（x+3

3

）（x+

3

），把C（0，3）代入可求得a=

1

3

，则抛物线的解析式为y=

1

3

（x+3

3

）（x+

3

）=

1

3

x²+

4

3

3

x+3；然后配成顶点式为y=

1

3

（x+2

3

）²，-1，即可得到抛物线的顶点坐标为（-2

3

，-1）．

解答：解：连BC，如图，
∵OB=

3

，CB=2

3

，
∴OC=

BC2-OB2

=3，
∴B点坐标为（-

3

，0），C点坐标为（0，3）
在Rt△AOC中，∠CAO=30°，
∴OA=

3

OC=3

3

，
∴A点坐标为（-3

3

，0），
设抛物线的解析式为y=a（x+3

3

）（x+

3

），
把C（0，3）代入得a（0+3

3

）（0+

3

）=3，
∴a=

1

3

，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

（x+3

3

）（x+

3

）=

1

3

x²+

4

3

3

x+3；
∵y=

1

3

（x+2

3

）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-2

3

，-1）．

点评：本题考查了抛物线的交点式：若抛物线与x轴的交点坐标为（x₁，0）、（x₂，0），则抛物线的解析式为y=a（x-x₁）（x-x₂）．也考查了含30°的直角三角形三边的关系以及抛物线的顶点式．