Question

【题目】如图，△ABC中，AB=4，BC=3，以C为圆心，CB的长为半径的圆和AC交于点D，连接BD，若∠ABD=∠C．

（1）求证：AB是⊙C的切线；

（2）求△DAB的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由CB=CD得∠CBD=∠CDB，根据三角形内角和定理得到∠C=180°﹣2∠CBD，由于∠ABD=∠C，则2∠ABD=180°﹣2∠CBD，即可得到∠ABD+∠CBD=90°，于是可根据切线的判定得到AB是⊙C的切线；

（2）作BE⊥AC于E，如图，先根据勾股定理计算出AC=5，则AD=AC﹣CD=2，再利用面积法计算出BE=，然后根据三角形面积公式求解．

（1）证明：∵CB=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

∴∠C=180°﹣2∠CBD，

∵∠ABD=∠C，

∴2∠ABD=180°﹣2∠CBD，

∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴AB是⊙C的切线

（2）解：作BE⊥AC于E，如图，

在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，

∵BEAC=BCAB，

∴BE=，

∴△DAB的面积=×2×=．