Question

如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点H在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是h_M、h_N，四边形MBNH的面积是S．
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S=

1

4

，h_M+h_N=

2

2

（只要求写出结果，不用证明）；
（2）若顶点H为OB的中点（图2），S=

1

16

，h_M+h_N=

2

4

 （只要求写出结果，不用证明）；
（3）按要求完成下列问题：
我们准备探索：当BH=n时，S=

1

2

n²

，h_M+h_N=

n

；
①简要写出你的探索过程；②在上面的横线上填上你的结论；③证明你得到的结论．

Answer 1

分析：（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时，BH=

1

2

BD，H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．先由正方形的性质得出BD平分∠ABC，∠ABC=90°，由角平分线的性质得到HI=HJ，垂线的定义得到∠HIB=∠HJB=90°，根据一组邻边相等的矩形是正方形证明四边形IBJH是正方形，再利用ASA证明△HMI≌△HNJ，则S_{四边形MBNH}=S_{正方形HIBJ}，根据正方形的面积公式求出S=

1

2

BH²=

1

4

；又S_{四边形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH（h_M+h_N），将数据代入即可求出h_M+h_N=

2

2

；
（2）当顶点H为OB的中点时，BH=

1

4

BD，同（1）可求出S=

1

2

BH²=

1

16

；h_M+h_N=

2

4

；
（3）当BH=n时，同（1）可求出S=

1

2

BH²=

1

2

n²；h_M+h_N=n．

解答：解：（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时，如图1，
过H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∵HI⊥AB于I，HJ⊥BC于J，
∴HI=HJ，∠HIB=∠HJB=90°，
∴四边形IBJH是正方形．
在△HMI和△HNJ中，

∠HIM=∠HJN=90° HI=HJ ∠IHM=∠JHN=90°-∠IHN

，
∴△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四边形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=S_△HMI+S_△HBI+S_△BHJ-S_△HNJ=S_△HBI+S_△BHJ=S_{正方形HIBJ}=

1

2

BH²=

1

2

（

1

2

BD）²=

1

2

×（

2

2

）²=

1

4

；
又∵S_{四边形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH•h_M+

1

2

BH•h_N=

1

2

BH（h_M+h_N），
∴

1

4

=

1

2

×

2

2

（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=

2

2

；

（2）当顶点H为OB的中点时，如图2，
过H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．
同（1）可证，四边形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四边形MBNH}=S_{正方形HIBJ}=

1

2

BH²=

1

2

（

1

4

BD）²=

1

2

×（

2

4

）²=

1

16

；
又∵S_{四边形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH•h_M+

1

2

BH•h_N=

1

2

BH（h_M+h_N），
∴

1

16

=

1

2

×

2

4

（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=

2

4

；

（3）当BH=n时，如图3，
过H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．
同（1）可证，四边形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S_△HMI=S_△HNJ，
∴S_{四边形MBNH}=S_{正方形HIBJ}=

1

2

BH²=

1

2

n²；
又∵S_{四边形MBNH}=S_△HMB+S_△HNB=

1

2

BH•h_M+

1

2

BH•h_N=

1

2

BH（h_M+h_N），
∴

1

2

n²=

1

2

n（h_M+h_N），
∴h_M+h_N=n．
故答案为：（1）

1

4

，

2

2

；（2）

1

16

，

2

4

；（3）

1

2

n²，n．

点评：本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形、四边形的面积，综合性较强，难度一般，体现了由特殊到一般的思想．