Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y₁=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC=45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y₂=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象于N．若只有当-2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）令y=0，则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标；
（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得；
（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．

解答：解：（1）∵点A、B是二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴的交点，
∴令y=0，即mx²+（m-3）x-3=0
解得x₁=-1，x2=

3

m

又∵点A在点B左侧且m＞0
∴点A的坐标为（-1，0）

（2）由（1）可知点B的坐标为(

3

m

，0)
∵二次函数的图象与y轴交于点C
∴点C的坐标为（0，-3）
∵∠ABC=45°
∴OB=

3

m

=3，
∴m=1

（3）由（2）得，二次函数解析式为y₁=x²-2x-3，
∵只有当-2＜n＜2时，点M位于点N的上方，
∴当-2＜n＜2时，y₁＜y₂，
即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，
由此可得交点坐标为（-2，5）和（2，-3），
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中，
得

-2k+b=5 2k+b=-3

，解得：

k=-2 b=1

∴一次函数解析式为y=-2x+1．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）令y=0则求得两根，又由AB位置确定m＞0，即求得；（2）二次函数的图象与y轴交于点C，再由45度从而求得．（3）由m值代入求得二次函数式，求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．本题比较模糊，按照一般计算，代入即求得．