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19.阅读下列材料,解答下列问题:
材料1.把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,也叫分解因式.如果把整式的乘法看成一个变形过程,那么多项式的因式分解就是它的逆过程.
公式法(平方差公式、完全平方公式)是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式a2+2ab+b2,可以逆用乘法公式将它分解成(a+b)2的形式,我们称a2+2ab+b2为完全平方式.但是对于一般的二次三项式,就不能直接应用完全平方了,我们可以在二次三项式中先加上一项,使其配成完全平方式,再减去这项,使整个式子的值不变,于是有:
x2+2ax-3a2
=x2+2ax+a2-a2-3a2
=(x+a)2-(2a)2
=(x+3a)(x-a)
材料2.因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1
解:将“x+y”看成一个整体,令x+y=A,则
原式=A2+2A+1=(A+1)2
再将“A”还原,得:原式=(x+y+1)2
上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常见的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)根据材料1,把c2-6c+8分解因式;
(2)结合材料1和材料2完成下面小题:
①分解因式:(a-b)2+2(a-b)+1;
②分解因式:(m+n)(m+n-4)+3.

分析 (1)根据材料1,可以对c2-6c+8分解因式;
(2)①根据材料2的整体思想可以对(a-b)2+2(a-b)+1分解因式;
②根据材料1和材料2可以对(m+n)(m+n-4)+3分解因式.

解答 解:(1)c2-6c+8
=c2-6c+32-32+8
=(c-3)2-1
=(c-3+1)(c-3+1)
=(c-4)(c-2);
(2)①(a-b)2+2(a-b)+1
设a-b=t,
则原式=t2+2t+1=(t+1)2
则(a-b)2+2(a-b)+1=(a-b+1)2
②(m+n)(m+n-4)+3
设m+n=t,
则t(t-4)+3
=t2-4t+3
=t2-4t+22-22+3
=(t-2)2-1
=(t-2+1)(t-2-1)
=(t-1)(t-3),
则(m+n)(m+n-4)+3=(m+n-1)(m+n-3).

点评 本题考查因式分解的应用,解题的关键是明确题意,可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

9.在平面直角坐标系x、y中,过原点O及点A(0,2)、C(6,0)作矩形OABC,∠AOC的平分线交AB于点D.点P在线段OD上,点Q线段OC上,OQ=$\sqrt{2}$OP,∠PQB=90°,求线段PO的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

10.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(2,0).
(1)画出等边三角形ABC(画出一个即可);
(2)写出(1)中画出的△ABC的顶点C的坐标.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.探究:如图①,在矩形ABCD中,E是边CD的中点,点F在边BC上,∠DAE=∠FAE.判断AE与EF的位置关系,并加以证明.
拓展:如图②,在?ABCD中,E是边CD的中点,点F在边BC上,∠DAE=∠FAE,若AD=$\frac{5}{2}$,CF=$\frac{1}{2}$,EF=$\frac{3}{5}$,则sin∠DAE=$\frac{1}{5}$.

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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

14.如图,在平面直角坐标系中,点A为(5,0),点B为(-5,0),点C为(3,-4),点D为第一象限上的一个动点,且OD=5.
①∠ACB=90度;
②若∠AOD=50°,则∠ACD=25度.

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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

4.如图,所有的三角形都有一个顶点位于y轴上,另外两个顶点分别位于三、四象限,且位于y轴上的点到原点的距离,与位于三、四象限内的点到两坐标轴的距离都相等,这些距离从内到外分别是1、2、3…,顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示,则顶点A2011的坐标是(0,670).

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科目:初中数学 来源: 题型:选择题

11.下列说法中正确的个数有(  )
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形;
②三边长为$\sqrt{14}$,$\sqrt{5}$,3的三角形为直角三角形;
③等腰三角形的两条边长为2,4,则等腰三角形的周长为10或8;
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形.
A.1个B.2个C.3个D.4个

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

8.计算
(1)化简:$\root{3}{-\frac{8}{64}}$-(-2)-2×$\sqrt{(-4)^{2}}$+($\sqrt{3}$-10)0 
(2)解方程组:$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y=1}\\{7x+6y=2}\end{array}\right.$
(3)解不等式:$\frac{x-1}{2}$-$\frac{x+4}{3}$>-2
(4)解不等式组:$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2x-1}{3}-1≤\frac{5x+1}{2}}\\{3(x+1)>5x-1}\end{array}\right.$,求其整数解.

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科目:初中数学 来源: 题型:选择题

9.如图,将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的$\widehat{AC}$,长度不变,AB、BC的长度也不变,则∠ABC的度数大小由60°变为(  )
A.($\frac{60}{π}$)°B.($\frac{90}{π}$)°C.($\frac{120}{π}$)°D.($\frac{180}{π}$)°

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