【题目】如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)45°
【解析】
试题(1)利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补,所以易证AB∥CD;
(2)利用(1)中平行线的性质推知°;然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°,即EG⊥PF,故结合已知条件GH⊥EG,易证PF∥GH;
(3)利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2;然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=∠EPK=45°+∠2;最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变,是定值45°.
试题解析:(1)如图1,
∵∠1与∠2互补,
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∴AB∥CD;
(2)如图2,由(1)知,AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP=(∠BEF+∠EFD)=90°,
∴∠EPF=90°,即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴PF∥GH;
(3)∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:
如图3,∵∠1=∠2,
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG,
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK,
∴∠QPK=∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°,
∴∠HPQ的大小不发生变化,一直是45°.
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【题目】如图,甲乙两数学兴趣小组测量出CD的高度,甲小组在地面A处测量,乙小组在上坡B处测量,AB=200m,甲小组测得山顶D的仰角为45°,山坡B处的仰角为30°;乙小组测得山顶D的仰角为58°,求山CD的高度(结果保留一位小数)
参考数据:tan58°≈1.60, ≈1.732,供选用.
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【题目】某手机店今年1-4月的手机销售总额如图1,其中一款音乐手机的销售额占当月手机销售总额的百分比如图2.有以下四个结论:
①从1月到4月,手机销售总额连续下降
②从1月到4月,音乐手机销售额在当月手机销售总额中的占比连续下降
③音乐手机4月份的销售额比3月份有所下降
④今年1-4月中,音乐手机销售额最低的是3月
其中正确的结论是________(填写序号).
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=9,AD=6,∠ADC的平分线交AB于点E,交CB的延长线于点F,AG⊥DE,垂足为G.若AG=4 ,则△BEF的面积是( )
A.
B.2
C.3
D.4
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【题目】先阅读下列一段文字,再回答问题:
已知平面内两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),这两点间的距离P1P2=.同时当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|.
(1)已知点A(2,3)、B(4,2),试求A、B两点间的距离;
(2)已知点A、B在平行于x轴的直线上,点A的横坐标为7,点B的横坐标为5,试求A、B两点间的距离;
(3)已知一个三角形的各顶点坐标为A(﹣2,1)、B(1,4)、C(1﹣a,5),试用含a的式子表示△ABC的面积.
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【题目】计算
(1)(x+y)2-2x(x+y); (2)(a+1)(a-1)-(a-1)2;
(3)先化简,再求值:
(x+2y)(x-2y)-(2x3y-4x2y2)÷2xy,其中x=-3,.
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【题目】如图,将△ABC在网格中(网格中每个小正方形的边长均为1)依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A3B3C3 .
(1)△ABC与△A1B1C1的位似比等于;
(2)在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2;
(3)请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平移得到的?
(4)设点P(x,y)为△ABC内一点,依次经过上述三次变换后,点P的对应点的坐标为 .
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【题目】在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,AE与BF相交于点G.
(1)如图1,求证:AE⊥BF;
(2)如图2,将△BCF沿BF折叠,得到△BPF,延长FP交BA的延长线于点Q,若AB=4,求QF的值.
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