Question

（2010•邢台一模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-6x+c经过点（0，10）和点（3，1）．
（1）求这条抛物线的函数表达式，并求出它的对称轴；
（2）如图，△ABC的顶点B在抛物线y=ax²-6x+c上，顶点C在y轴上，顶点A在x轴上，且BC=1，∠ABC=90°，求AC的长；
（3）△ABC的顶点B沿抛物线y=ax²-6x+c移动，移动过程中，边BC与x轴保持平行，当△ABC被x轴分成上下两部分的面积比为3：1时，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）将点（0，10）和点（3，1）代入解析式就可以求出抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式就可以求出对称轴．
（2）由BC=1，∠ABC=90°，就可以求得B点的横坐标，将点B的横坐标代入解析式就可以求出B点的纵坐标从而求出AB的值，再由勾股定理就可以求出AC的值．
（3）如图，当△ABC移到△A′B′C′的位置时，S_{四边形EFB′C′}：S_△EFA′=3：1，有S_{△A′B′C′}：S_△EFA′=4：1，由相似三角形的性质可以求出B′F，求得B′的纵坐标，代入抛物线的解析式就可以求出B′的横坐标，从而求得C′的坐标．

解答：解：（1）由题意，得

10=c 1=9a-18+c

，
解得：

a=1 c=10

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-6x+10
∴y=（x-3）²+1
∴抛物线的对称轴是：x=3．

（2）∵BC=1，∠ABC=90°，
∴B点的横坐标为1，
∴y=1-6+10=5，
∴AB=5，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=

26

；

（3）∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的，
∴△A′B′C′≌△ABC，
∴A′B′=AB=5．
∵S_{四边形EFB′C′}：S_△EFA′=3：1，
∴S_{△A′B′C′}：S_△EFA′=4：1，
∵BC与x轴保持平行，
∴△A′B′C∽△EFA
∴

A′B′

A′F

=2，
∴A′F=

5

2

，
∴B′F=

5

2

，
∴

5

2

=x²-6x+10，
∴x₁=

6+ 6

2

，x₂=

6- 6

2

，
故C（

4+ 6

2

，

5

2

）或（

4- 6

2

，

5

2

）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理的运用，二次函数图象与几何变换，平移的性质及运用，相似三角形的性质．