Question

13．已知，AB=BC，∠ABC=90°．将线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD．点C关于直线BD的对称点为E，连接AE，CE．
（1）补全图形；
（2）求∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）过点C作BD的垂线，垂足为F，延长CF到点E，使EF=CF，然后连接AE即可；
（2）连接BE，如图，根据旋转的性质得AB=AD，∠BAD=α，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∴∠ABD=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，则∠CBD=$\frac{1}{2}$α，再利用对称的性质得BE=BC，∠C=∠BEC，∠CBD=∠EBD，于是得到∠BEC=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，接着证明AB=BE得到∠BAE=∠BEA，所以∠BEA=$\frac{1}{2}$（180°-90°+α）=45°+$\frac{1}{2}$α，然后计算∠BEA+∠BEC即可．

解答 解：（1）如图，

（2）连接BE，如图，
∵线段AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AD，
∴AB=AD，∠BAD=α，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴∠CBD=90°-∠ABD=$\frac{1}{2}$α，
∵点C关于直线BD的对称点为E，
∴BE=BC，∠C=∠BEC，∠CBD=∠EBD，
∴∠CBE=2∠CBD=α，
∴∠BEC=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∵∠ABE=90°-∠CBE=90°-α，
∵BA=BC，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴∠BEA=$\frac{1}{2}$（180°-90°+α）=45°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠AEC=∠BEA+∠BEC=45°+$\frac{1}{2}$α+90°-$\frac{1}{2}$α=135°．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等腰三角形的性质．