Question

9．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）连接BG，求BG的长及cosE的值．

Answer 1

分析 （1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；
（2）根据∠E=∠CBG，可以把求cos∠E的值得问题转化为求cos∠CBG，进而转化为求Rt△BCG中，两边的比的问题，根据BG=BC•cos∠CBG即可求出BG．

解答 （1）证明：如图，连接OD、CD．
∵BC是直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC．
∴D是AB的中点．
∵O为CB的中点，
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴OD⊥EF．
∴EF是圆O的切线．

（2）解：连BG．
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°．
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=8．
∵AB•CD=2S_△ABC=AC•BG，
∴BG=$\frac{AB•CD}{AC}$=$\frac{96}{10}$=$\frac{48}{5}$．
∴CG=$\sqrt{B{C}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{14}{5}$．
∵BG⊥AC，DF⊥AC，
∴BG∥EF．
∴∠E=∠CBG，
∴cos∠E=cos∠CBG=$\frac{BG}{BC}$=$\frac{24}{25}$，
∴BG=BC•cos∠CBD=10×$\frac{24}{25}$=$\frac{48}{5}$．

点评 本题考查的是切线的判定，锐角三角函数、解直角三角形等知识，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．