Question

如图，过半径为6cm的⊙O外一点P引圆的切线PA、PB，A、B为切点，连PO交⊙O于点M，过M作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，如果PO=10cm，∠APB=50°，
（1）求△PED的周长；
（2）求∠DOE的度数．

Answer 1

分析：（1）根据切线长定理，得DA=DM，EB=EM，PA=PB，则△PED的周长即为2PA的长；连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥AP，根据勾股定理求得AP的长，从而求解；
（2）根据切线长定理、等角的余角相等可以求得∠DOE=

1

2

∠AOB，根据切线的性质和四边形的内角和定理可以求得∠AOB的度数，从而求解．

解答：解：（1）连接OA．
∵PA是圆的切线，
∴OA⊥AP，
根据勾股定理，得AP=8．
∵PA、PB、DE都是圆的切线，
∴PA=PB，AD=MD，BE=ME，
∴△PED的周长=2PA=16；

（2）连接OA、OB．
∵PA、PB、DE都是圆的切线，
∴OD平分∠ADE，OE平分∠BED，OA⊥AP，OB⊥BP，OM⊥DE，
∴OD平分∠AOM，OE平分∠BOM，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB=

1

2

×（180°-50°）=65°．

点评：此题综合运用了切线的性质、切线长定理、等角的余角相等的性质．
注意：连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．