Question

如图1，在平面直接坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0）、（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．（友情提示：?图2、图3备用，?不要漏解）

Answer 1

考点：矩形的性质,坐标与图形性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：因为题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．

解答：解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；

（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP=

OP2-OC2

=3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM=

PD2-DM2

=3，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．