Question

18、在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，4），C点坐标为（10，0）．
（1）如图①，若直线AB∥OC，AB上有一动点P，当P点的坐标为

（5，4）

时，有PO=PC；
（2）如图②，若直线AB与OC不平行，在过点A的直线y=-x+4上是否存在点P，使∠OPC=90°，若有这样的点P，求出它的坐标．若没有，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）如图，根据等腰三角形的三线合一，可得出OD=DC，又OA=PD，即可得出；
（2）如图，设P（x，-x+4），连接OP，PC，过P作PE⊥OC于E，根据勾股定理，OP²+PC²=OC²，表示并代入数值，解答出即可求出点P的坐标；

解答：解：（1）如图，作PD⊥OC，
∵OP=PC，
∴OD=DC（等腰三角形三线合一），
∴OD=5，DP=4，
∴点P坐标为（5，4）．
故答案为：（5，4）．

（2）如图，设P（x，-x+4），连接OP，PC，过P作PE⊥OC于E，
∵OP²=x²+（-x+4）²，PC²=（-x+4）²+（10-x）²，OP²+PC²=OC²，
∴x²+（-x+4）²+（-x+4）²+（10-x）²=10²，
∴x²-9x+8=0，
解得，x₁=1，x₂=8，
∴-1+4=3，-8+4=-4，
∴点P坐标位（1，3）或（8，-4）．

点评：本题主要考查了等腰三角形的三线合一和勾股定理，熟记等腰三角形的三线合一，并能熟练应用勾股定理，是解答本题的关键．