Question

7．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠B=70°，以AC为直径作⊙O交BC于点D，弦CE交AB于点P，且∠ACE=20°，则$\frac{AP}{BC}$的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 连接AE、AD，由等腰三角形的性质可知BD=CD，∠BAD=∠CAD，结合三角形的内角和定理可知∠DAC=20°，从而可知∠DAC=∠ACE=20°，故此AE=DC，
在△BCP中可求得∠BPC=60°，在直角△EAP中由∠APE=60°，从而可求得AE：PA的值，因为BC=2AE，故此可求得答案．

解答 解：连接AD、AE．

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AEC=90°．
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°．
∴∠BAC=40°．
∴∠DAC=20°．
∴∠ACE=∠DAC．
∴AE=DC．
∴BC=2AE．
∵∠B=70°，∠ECB=∠ACB-∠ACE=70°-20°=50°，
∴∠BPC=60°．
∴$\frac{AE}{AP}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\frac{AP}{BC}=\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查的圆周角定理以及圆周角定理的推理、特殊锐角三角函数、等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理，求得∠BPC=60°，然后利用特殊锐角三函数值求解是解题的关键．