Question

15．如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：AA′=CE．

Answer 1

分析 根据正方形的性质得AD=CD，∠ADC=90°，∠CAB=45°，则∠A′DE=90°，再根据旋转的性质得∠CA′B′=∠CAB=45°，则∠A′ED=45°，于是可得A′D=DE，然后根据“SAS”可判断△AA′D≌△CED，则根据全等三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′，
∴∠CA′B′=45°，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADA′=∠CDE}\\{A′D=ED}\end{array}\right.$，
∴△AA′D≌△CED（SAS），
∴AA′=CE．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．