【题目】如图,∠MON60°,点A是OM边上一点,点B,C是ON边上两点,且ABAC,作点B关于OM的对称点点D,连接AD,CD,OD.
(1)依题意补全图形;
(2)猜想∠DAC °,并证明;
(3)猜想线段OA、OD、OC的数量关系,并证明.
【答案】(1)见解析;(2)60,证明见解析;(3)猜想:AO=OC+OD,证明见解析.
【解析】
(1)根据题意作图即可补全图形;
(2)连接BD,如图2,由点B与点D关于AO对称,可得AD=AB,∠DAO=∠BAO,然后利用三角形的外角性质和三角形的内角和可得∠BAC与∠OAB的关系,而∠DAC=∠DAO+∠BAO+∠BAC,进一步即可得出∠DAC的度数;
(3)在射线CN上截取CF=BO,连接AF,如图3,先根据SAS证明△ABO≌△ACF,可得∠AFO=∠AOB=60°,进而可证得△AOF是等边三角形,于是AO=OF,而点B与点D关于AO对称,于是有OB=OD,进一步即可得出线段OA、OD、OC的数量关系.
解:(1)补全图形如图1:
(2)∠DAC =60°;
证明:连接BD,如图2,∵点B与点D关于AO对称,
∴BD被AO垂直平分,∴AD=AB,∠DAO=∠BAO,
∵AB=AC,∴AD=AC,
∵∠ABC=∠ACB=∠AOB+∠OAB=60°+∠OAB,
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣2(60°+∠OAB)= 60°-2∠OAB,
∴∠DAC=∠DAO+∠BAO+∠BAC=2∠OAB+60°-2∠OAB=60°;
故答案为:60;
(3)猜想:AO=OC+OD.
证明:在射线CN上截取CF=BO,连接AF,如图3,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABO=∠ACF,
∴△ABO≌△ACF(SAS),
∴∠AFO=∠AOB=60°,
∴△AOF是等边三角形,∴AO=OF,
∵点B与点D关于AO对称,
∴OB=OD,∴OD=CF,
∴AO=OF=OC+CF=OC+OD.
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【题目】如图,点P是菱形ABCD边上的一动点,它从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△PAD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知:如图所示,CD∥AN.
(1)用尺规作图作出∠MAN的平分线,交CD于点P.(保留作图痕迹)
(2)在(1)的基础上,若∠PAN=15°,AC=2,求点P到AM的距离.
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【题目】如图,抛物线的顶点为P(﹣3,3),与y轴交于点A(0,4),若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(3,﹣3),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为( )
A. 24 B. 12 C. 6 D. 4
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【题目】对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3,有下列说法:
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=﹣1;
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为﹣3.
其中正确的说法是_____.(把你认为正确说法的序号都填上)
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【题目】对于△ABC及其边上的点P,给出如下定义:如果点,,,……,都在△ABC的边上,且,那么称点,,,……,为△ABC关于点P的等距点,线段,,,……,为△ABC关于点P的等距线段.
(1)如图1,△ABC中,∠A<90°,AB=AC,点P是BC的中点.
①点B,C △ABC关于点P的等距点,线段PA,PB △ABC关于点P的等距线段;(填“是”或“不是”)
②△ABC关于点P的两个等距点,分别在边AB,AC上,当相应的等距线段最短时,在图1中画出线段,;
(2)△ABC是边长为4的等边三角形,点P在BC上,点C,D是△ABC关于点P的等距点,且PC=1,求线段DC的长;
(3)如图2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°.点P在BC上,△ABC关于点P的等距点恰好有四个,且其中一个是点.若,直接写出长的取值范围.(用含的式子表示)
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【题目】如图,已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,∠A=90°,BC=BD,CE⊥BD,垂足为E.
(1)求证:△ABD≌△ECB;
(2)若∠DBC=50°,求∠DCE的度数.
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【题目】如图,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=,点H是BD上的一个动点,则HG+HC的最小值为______________.
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