Question

如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AF=BD；
（2）要使四边形AFBD是正方形，△ABC应满足什么条件？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由D和E分别为BC及AD的中点，根据线段中点定义可得BD=CD，AE=DE，再由AF与BC平行，根据两直线平行内错角相等可得两对角相等，利用AAS可得三角形AEF与三角形DCE全等，根据全等三角形的对应边相等可得AF=CD，等量代换可得证；
（2）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形AFBD是正方形，理由为：由第一问证得的AF=BD，且AF与BD平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可得四边形AFBD为平行四边形，若三角形ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD，且根据三线合一得到AD与BC垂直，可得平行四边形的邻边相等且有一个角为直角，即可判定出四边形AFBD为正方形．

解答：解：（1）∵D为BC的中点，E为AD的中点，
∴BD=CD，AE=DE（中点定义），
又AF∥BC（已知），
∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE（两直线平行内错角相等），
在△AEF和△DEC中，

∠AFE=∠DCE ∠FAE=∠CDE AE=DE

，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD（全等三角形的对应边相等），
∴AF=BD（等量代换）；

（2）当△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°时，四边形AFBD是正方形，理由如下：
∵AF=BD，AF∥BC，
∴四边形AFBD为平行四边形，
又∵等腰直角三角形ABC，且D为BC的中点，
∴AD=BD，∠ABD=90°，
∴四边形AFBD为正方形．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，利用了转化的数学思想，其中全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及HL（直角三角形），常常利用这些方法来解决三角形的边或角的相等问题．