Question

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
（1）求原抛物线的解析式；
（2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果精确到0.001）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出P点坐标为（1，-3），再设原抛物线的顶点解析式为y=a（x-1）²-3，将A点坐标（，0）代入，运用待定系数法即可求出原抛物线的解析式；
（2）假设存在满足题意的点（x，y），其关于原点对称的点为（-x，-y），将这两点的坐标分别代入（1）中所求的解析式，得到关于x、y的方程组，通过解方程组即可判断；
（3）先由P′（1，3）在CD上，可知“W”图案的高为3，再结合CD∥x轴的条件，得出C、D两点纵坐标为3，解方程（x-1）²-3=3，得到C、D两点横坐标的值，然后求出CD的长度，则“W”图案的高与宽（CD）的比为，代入计算即可．
解答：解：（1）由题意得，点P与点P'关于x轴对称
所以由P'（1，3）得，P（1，-3）
将A（1-，0），P（1，-3）代入方程y=a（x-1）²+c中
3a+c=0
c=-3
解得，a=1，c=-3
所以原抛物线的解析式为y=（x-1）²-3；

（2）假设存在满足题意的点（x，y），其关于原点对称的点为（-x，-y），
则，解得，，
∴存在满足题意的点为（-，2）和（，-2）；

（3）∵CD∥x轴，P′（1，3）在CD上；
∴C、D两点纵坐标为3，有（x-1）²-3=3，
解得：x₁=1-，x₂=1+，
∴CD=（1+）-（1-）=2，
∴“W”图案的高与宽（CD）的比为：=≈0.612．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，平行于坐标轴上的两点之间的距离，综合性较强，难度不大．求出原抛物线的解析式是解题的关键．