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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P′(1,3)处.
(1)求原抛物线的解析式;
(2)在原抛物线上,是否存在一点,与它关于原点对称的点也在该抛物线上?若存在,求满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)学校举行班徽设计比赛,九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据:,结果精确到0.001)

【答案】分析:(1)先根据关于x轴对称的两点横坐标相同,纵坐标互为相反数得出P点坐标为(1,-3),再设原抛物线的顶点解析式为y=a(x-1)2-3,将A点坐标(,0)代入,运用待定系数法即可求出原抛物线的解析式;
(2)假设存在满足题意的点(x,y),其关于原点对称的点为(-x,-y),将这两点的坐标分别代入(1)中所求的解析式,得到关于x、y的方程组,通过解方程组即可判断;
(3)先由P′(1,3)在CD上,可知“W”图案的高为3,再结合CD∥x轴的条件,得出C、D两点纵坐标为3,解方程(x-1)2-3=3,得到C、D两点横坐标的值,然后求出CD的长度,则“W”图案的高与宽(CD)的比为,代入计算即可.
解答:解:(1)由题意得,点P与点P'关于x轴对称
所以由P'(1,3)得,P(1,-3)
将A(1-,0),P(1,-3)代入方程y=a(x-1)2+c中
3a+c=0
c=-3
解得,a=1,c=-3
所以原抛物线的解析式为y=(x-1)2-3;

(2)假设存在满足题意的点(x,y),其关于原点对称的点为(-x,-y),
,解得
∴存在满足题意的点为(-,2)和(,-2);

(3)∵CD∥x轴,P′(1,3)在CD上;
∴C、D两点纵坐标为3,有(x-1)2-3=3,
解得:x1=1-,x2=1+
∴CD=(1+)-(1-)=2
∴“W”图案的高与宽(CD)的比为:=≈0.612.
点评:本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式,二次函数的性质,关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征,二次函数与一元二次方程的关系,平行于坐标轴上的两点之间的距离,综合性较强,难度不大.求出原抛物线的解析式是解题的关键.
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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,它们的横坐标分别为-1和3,精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3,△ABC的外接圆的圆心为点M.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求图象经过M、A两点的一次函数解析式;
(3)在(1)中的抛物线上是否存在点P,使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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已知:如图,抛物线的顶点为点D,与y轴相交于点A,直线y=ax+3与y轴也交于点A,矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上,矩形面积为12,
(1)求该抛物线的对称轴;
(2)⊙P是经过A、B两点的一个动圆,当⊙P与y轴相交,且在y轴上两交点的距离为4时,求圆心P的坐标;
(3)若线段DO与AB交于点E,以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似,如果有可能,请求出点D坐标及抛物线解析式;如果不可能,请说明理由.

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(2013•宁化县质检)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1-
3
,0)和点B,将抛物线沿x轴向上翻折,顶点P落在点P′(1,3)处.
(1)求原抛物线的解析式;
(2)在原抛物线上,是否存在一点,与它关于原点对称的点也在该抛物线上?若存在,求满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)学校举行班徽设计比赛,九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比
5
-1
2
(约等于0.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据:
5
≈2.236
6
≈2.449
,结果精确到0.001)

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已知,如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A,B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点M在抛物线上,且△ABC与△ABM的面积相等,直接写出点M的坐标;
(3)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;
(4)若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出直线l的解析式;若不存在,请说明理由.

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精英家教网已知,如图,抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA≠OB,OA=OC,设抛物线的顶点为点P,直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称.
(1)求p、q的值.
(2)在题中的抛物线上是否存在这样的点Q,使得四边形PAQD恰好为平行四边形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)连接PA、AC.问:在直线PC上,是否存在这样点E(不与点C重合),使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

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