Question

9．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，m）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）根据图象写出当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先把A点坐标入y=$\frac{k}{x}$得k=-2，则反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$，再利用反比例函数解析式确定B（$\frac{1}{2}$，-4），然后利用待定系数法求出一次函数解析式为y=-2x-3；
（2）先求出D点坐标，然后根据三角形面积公式，利用S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD进行计算即可；
（3）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．

解答 解：（1）把A（-2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-2×1=-2，
所以反比例函数解析式为y=-$\frac{2}{x}$，
把B（$\frac{1}{2}$，m）代入y=-$\frac{2}{x}$得m=-4，则B（$\frac{1}{2}$，-4），
把A（-2，1）、B（$\frac{1}{2}$，-4）分别代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=1}\\{\frac{1}{2}a+b=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所以一次函数解析式为y=-2x-3；
（2）当x=0时，y=-2x-3=-3，则D（0，-3），
S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×3×2+$\frac{1}{2}$×3×$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{4}$；
（3）-2＜x＜0或x＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式．