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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数m的取值范围.

【答案】
(1)解:∵函数f(x)=|2x﹣a|+a,

故不等式f(x)≤6,

求得 a﹣3≤x≤3.

再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},

可得a﹣3=﹣2,

∴实数a=1


(2)解:在(1)的条件下,f(x)=|2x﹣1|+1,

∴f(n)=|2n﹣1|+1,存在实数n使f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,

即f(n)+f(﹣n)≤m,即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.

由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|(2n﹣1)﹣(2n+1)|=2,

∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2,

∴m≥4,

故实数m的取值范围是[4,+∞)


【解析】(1)通过讨论x的范围,求得a﹣3≤x≤3.再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},可得a﹣3=﹣2,从而求得实数a的值.(2)在(1)的条件下,f(n)=|2n﹣1|+1,即f(n)+f(﹣n)≤m,即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2,可得m的范围.

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