Question

【题目】如图①，已知直线y=﹣x+3分别交x轴，y轴于点A，点B．点P是射线AO上的一个动点．把线段PO绕点P逆时针旋转90°得到的对应线段为PO′，再延长PO′到C使CO′=PO′，连结AC，设点P坐标为（m，0），△APC的面积为S．

（1）直接写出OA和OB的长，OA的长是 ，OB的长是 ；

（2）当点P在线段OA上（不含端点）时，求S关于m的函数表达式；

（3）当以A，P，C为顶点的三角形和△AOB相似时，求出所有满足条件的m的值；

（4）如图②，当点P关于OC的对称点P′落在直线AB上时，m的值是 ．

Answer 1

【答案】（1）6，3；（2）S=（6﹣m）2m=﹣m2+6m（0＜m＜6）；（3）m=3，m=1.2，m=﹣2；（4）﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，可得OA，OB的长；

（2）根据旋转的性质，可得PO′，根据线段中点的性质，可得PC的长，根据三角形的面积公式，可得答案；

（3）根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；

（4）根据待定系数法，可得OC的解析式，PP′的解析式，根据解方程组，可得D点坐标，根据中点的坐标公式，可得P′点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解：（1）由直线y=﹣x+3可知A（6，0），B（0，3），

∴OA=6，OB=3，

故答案为：6，3；

（2）∵点P坐标为（m，0），

∴OP=m．

∵线段PO绕点P逆时针旋转90°，得

对应线段为PO′=m．

再延长PO′到C使CO′=PO′，

∴PC=2m．

∵PA=6﹣m，

∴S=（6﹣m）2m=﹣m2+6m（0＜m＜6）；

（3）当0≤m＜6时，

∵以A，P，C为顶点的三角形和△AOB相似，

∴=，解得m=3，

或=，解得m=1.2；

当m＜0时，

∵以A，P，C为顶点的三角形和△AOB相似，

∴=，m的值不存在，

或=，解得m=﹣2，

综上所述：m=3，m=1.2，m=﹣2；

（4）如图1：

，

P（m，0），C（m，﹣2m）

OC的解析式为y=﹣2x，

PP′的解析式为y=x﹣m，

联立OC与PP′，得，

解得，

D（，﹣m），

P′横坐标2×﹣m=﹣m，纵坐标2×（﹣m）﹣0=﹣m，

P′（﹣m，﹣m）．

将P′点的坐标代入AB，得

﹣m=﹣×（﹣m）+3，

解得m=﹣，

故答案为：﹣．