Question

【题目】如图所示，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O，与斜边交于点D，E为BC边上的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）连接OE，AE，当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形？并在此条件下求sin∠CAE的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：（1）要证DE是⊙O的切线，必须证ED⊥OD，即∠EDB+∠ODB=90°
（2）要证AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，又BD⊥AC，所以△ABC为等腰直角三角形，所以∠CAB=45°，再由正弦的概念求解即可．

详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点，

∵△BDC是Rt△，且E为BC中点，

∴∠EDB=∠EBD．（2分）

又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，

∴∠EDB+∠ODB=90°．

∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠EDO=∠B=90°，

若要四边形AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，

又∵BD⊥AC，

∴△ABC为等腰直角三角形．

∴∠CAB=45°．

过E作EH⊥AC于H，

设BC=2k，则EH=k，AE=k，

∴sin∠CAE=．