Question

【题目】如图，在四边形ABCD内找一点O，使它到四边形四个顶点的距离之和OA+OB+OC+OD最小，并说明你作图的理论依据．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】

连接AC、BD相交于点O，则点O就是所要找的点；
取不同于点O的任意一点P，连接PA、PB、PC、PD，根据三角形任意两边之和大于第三边可得PA+PC＞AC，PB+PD＞BD，然后结合图形即可得到PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，从而可得点O就是所要找的四边形ABCD内符合要求的点．

解：要使OA+OB+OC+OD最小，则点O是线段AC、BD的交点．

理由如下：如果存在不同于点O的交点P，连接PA、PB、PC、PD，

那么PA+PC＞AC，

即PA+PC＞OA+OC，

同理，PB+PD＞OB+OD，

∴PA+PB+PC+PD＞OA+OB+OC+OD，

即点O是线段AC、BD的交点时，OA+OB+OC+OD之和最小．