Question

19．如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（-$\sqrt{3}$，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²-2x-3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；
（2）由A、B、C三点坐标可知OA²=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；
（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；
（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．

解答 （1）∵x²-2x-3=0，
∴x=3或x=-1，
∴B（0，3），C（0，-1），
∴BC=4，

（2）∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），C（0，-1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，OC=1，
∴OA²=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-$\sqrt{3}$，0）和C（0，-1）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=b}\\{0=-\sqrt{3}k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∴x=-2$\sqrt{3}$，
∴D的坐标为（-2$\sqrt{3}$，1），

（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，
把B（0，3）和D（-2$\sqrt{3}$，1）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{1=-2\sqrt{3}m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
令y=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3$\sqrt{3}$，
∴E（-3$\sqrt{3}$，0），
∴OE=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BEC=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图1，
此时，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P与E重合，
∴P的坐标为（-3$\sqrt{3}$，0），
当PA=PB时，如图2，
此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴点P的横坐标为-$\sqrt{3}$，
令x=-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴y=2，
∴P（-$\sqrt{3}$，2），
当PB=AB时，如图3，
∴由勾股定理可求得：AB=2$\sqrt{3}$，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P₁，
过点P₁作P₁F⊥x轴于点F，
∴P₁B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₁=6-2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{F{P}_{1}}{E{P}_{1}}$，
∴FP₁=3-$\sqrt{3}$，
令y=3-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3，
∴P₁（-3，3-$\sqrt{3}$），
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P₂，
过点P₂作P₂G⊥x轴于点G，
∴P₂B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₂=6+2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{G{P}_{2}}{E{P}_{2}}$，
∴GP₂=3+$\sqrt{3}$，
令y=3+$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=3，
∴P₂（3，3+$\sqrt{3}$），
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（-3$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，2），（-3，3-$\sqrt{3}$），（3，3+$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定等知识，内容较为综合，需要学生灵活运用所知识解决．