Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F．
（1）若∠BCD=36°，BC=10，求BD的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE²=AB•EF．

Answer 1

分析 （1）在Rt△BCD中，解直角三角形即可；
（2）欲证明DE是切线，只要证明OD⊥DE即可；
（3）首先证明EF是△ADC的中位线，再证明△ACD∽△ABC即可解决问题；

解答 解：（1）∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，∵BC=10，∠BCD=36°，
∴BD=BC•sin36°=10•sin36°≈5.9．

（2）连接OD．
∵AE=EC，OB=OC，
∴OE∥AB，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥CD，
∵OD=OC，
∴∠DOE=∠COE，
在△EOD和△EOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠DOE=∠COE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△EOD≌△EOC，
∴∠EDO=∠ECO=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

（3）∵OE⊥CD，
∴DF=CF，∵AE=EC，
∴AD=2EF，
∵∠CAD=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC²=AD•AB，
∵AC=2CE，
∴4CE²=2EF•AB，
∴2CE²=EF•AB．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．