Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动：同时，点Q从点C出发沿CB﹣BA运动，点Q在CB上的速度为每秒2个单位长度，在BA上的速度为每秒 个单位长度，当点P到达终点A时，点Q随之停止运动．以CP、CQ为邻边作CPMQ，设CPMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）．

（1）当点M落在AB上时，求x的值．
（2）当点Q在边CB上运动时，求y与x的函数关系式．
（3）在P、Q两点整个运动过程中，当CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形时，求x的取值范围．
（4）以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出CP的长．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当点M落在AB上时，如图1，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，

∴∠A=∠B=45°，

∵四边形CPMQ是平行四边形，

∴CP∥MQ，CP=MQ=x，

∴∠BQM=∠C=90°，

∴∠QMB=∠B=45°，

∴BQ=MQ，

∴4﹣2x=x，

∴x= ；

（2）

解：①当0＜x≤ 时，如图2，CPMQ与△ABC重叠部分图形是

CPMQ，

∵CQ= x，PC=x，

∴y=SCPMQ=2xx=2x2，

②当 ＜x≤2时，如图3，

由题意有，CQ=2x，QM=PC=x，∠B=45°，∠M=90°，

∴QN=BQ=4﹣2x，

∵BN= BQ= （4﹣2x）=4 ﹣2 x，

∵QM=x，

∴MN=QM﹣QN=3x﹣4，

∴S△MNH= MN2= （3x﹣4）2，

∴y=S矩形QCPM﹣S△MNH

=2x2﹣ （9x2﹣24x+16）

=﹣ x2+12x﹣8，

（3）

解：①当0＜x≤ 时，如图1，2，重叠部分是四边形，

②当 ＜x＜2时，如图3，重叠部分是五边形，

③当2≤x＜4时，如图4，重叠部分是四边形，

④当x=4时，如图5，重叠部分是三角形，

∴当 ＜x＜2时和x=4时，当CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形；

（4）

解：①当0＜x≤2时，

i）当MC=MB时，如图6，

∵MQ⊥AB，

<>∴CQ=BQ，

∵CQ=2x，BQ=4﹣2x，

∴2x=4﹣2x，

∴x=1；

ii）、当CM=CB时，如图7，

∴CM=BC=4，

∵MQ⊥AB，MQ=x，CQ=2x，

根据勾股定理得，CM2=CQ2+MQ2

∴16=（2x）2+x2，

∴x= 或x=﹣ （舍），

②当2＜x≤4时，如图8，

i）当MC=MB时，MD⊥BC

∴CD=BD，则AQ=BQ

x=4

ii）当BC=MB时，如图9，延长MQ交BC于D，则MD⊥BC，

MQ=PC=x，BQ= （x﹣2），BM=BC=4，

∴∠ABC=45°，

∴DQ=BD=x﹣2，

在Rt△MDB中，MB2=MD2+BD2，

∴42=（x﹣2）2+（x+x﹣2）2，

x= ，x= （舍），

综上所述：PC=1或 或 或4．

【解析】（1）根据动点的时间和速度得：CP=x，CQ=2x，因为四边形CPMQ是平行四边形，得CP=MQ=BQ，代入列式求出x的值；（2）分两种情况：①当0＜x≤ 时，如图2，CPMQ与△ABC重叠部分图形是CPMQ，利用矩形面积公式代入计算；②当 ＜x≤2时，如图3，CPMQ与△ABC重叠部分图形是五边形CQNHP，利用差求面积；（3）除了了（2）中的情况外，还有③当2≤x＜4时，如图4，重叠部分是四边形，④当x=4时，如图5，重叠部分是三角形，写出结论；（4）分为①当0＜x≤2和当2＜x≤4时进行讨论，一共存在四种情况，画出图形就可以求出x的值，即PC的长．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行四边形的性质(平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分)．