Question

在四边形ABCD中，AB=1，AC=4，AB⊥BD，AC⊥DC，∠BAC=60°，则BC=

 

，AD=

 

．

Answer 1

分析：根据余弦定理（a²=b²+c²-2bccosA）来求BC的长度；再由AB⊥BD，AC⊥DC知AD是ABCD外接圆直径，从而推知AD也是△ABD外接圆直径，根据正弦定理求解即可．

解答：解：如图，在△ABC中，由余弦定理，得
BC=

12+42-2×1×4×cos60°

=

13

，
AD是ABCD外接圆直径，
∴AD也是△ABD外接圆直径，
在△ABD中，由正弦定理，得
AD=

BC

sin60°

=

2

3

39

．
故答案为：

13

，

2

3

39

．

点评：本题主要考查了正弦定理与余弦定理及圆心角、弧、弦的关系．解答此题，需灵活运用正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R（三角形的外接圆直径）．